Soma de Gauss

Soma de Gauss: Simplificando Tarefas Complexas

Soma de Gauss, ou soma Gaussiana é na Álgebra o nome de uma soma finita de raízes da unidade. Mas o que me interessa mais é a história por trás da criação desta fórmula e como uma criança super dotada se livrou de um castigo, aparentemente complexo para outras crianças de sua idade, simplificando o problema, inovando ou usando um termo da moda: sendo disruptivo.

Conta-se que Carl Friedrich Gauss tinha 10 anos de idade, quando seu professor pediu aos alunos que calculassem a soma de todos os números de 1 à 100. Provavelmente como forma de castigo, o professor esperava que os alunos lhe dessem algum sossego empenhados nessa atividade trabalhosa. Gauss, prontamente apresentou o resultado: 5050. Contrariando a expectativa do professor, Gauss resolveu o problema incrivelmente rápido e estava certo em sua resposta!

O Pensamento Disruptivo

Provavelmente todas as crianças seguiram a forma mais natural e esperada. Eles começaram a somar os números em sua sequência natural: 1+2=3, em seguida 3+3=6, e 6+4=10 e assim por diante.

Em sua genialidade, Gauss decidiu somar o primeiro número (1) com o último numero (100), chegando ao primeiro resultado (101)

1+100=101

Primeira soma do método de Gauss

Em seguida, Gauss somou o segundo número (2) com o penúltimo número da sequência (99), obtendo novamente o mesmo resultado (101).

2+99=101

Segunda soma do método de Gauss.

Um padrão estava estabelecido. Todas somas restantes resultariam em 101: 3+98=101, 4+97=101, 5+96=101, e assim por diante…

3+98=101

4+97=101

5+96=101

Padrão identificado por Gauss

Soma de Gauss

Gauss percebeu que realizaria essa soma 100 vezes e todas resultariam em 101. Logo multiplicou 101 por 100, obtendo o número 10.100. Mas, ao somar os dois numeros do meio (50 e 51) já teria percorrido todas as possibilidades, pois a proxima soma seriam os pares invertidos: 51+50=1=1, 52+49=101, e etc… Então, Gauss entendeu que o número 10.100 deveria ser dividido por 2, resultando em 5.050.

A fórmula descoberta por Gauss é hoje conhecida como soma de Gauss. Ela permite calcular a soma de termos de uma progressão aritmética:

SN=(a1+aN)N2

Lições

Esta história me ensina algumas lições:

  • Gauss gastou mais tempo entendendo o problema do que tentando resolve-lo;
  • Ele fugiu do senso comum ao somar o primeiro (1) e o último numero (100), enquanto a maioria seguiria a sequência natural (1+2+3);
  • O menino identificou um padrão que se repetia e criou um algoritmo (sequência de passos) para resolver o problema;
  • O algoritmo foi criado quebrando o problema complexo em partes mais simples;
  • As partes do problema foram resolvidas em ordem de complexidade: da mais simples para a mais complexa;
  • O processo “automático”, ou fórmula, realizou a soma de todos os termos cem vezes, simplificando o cálculo. Depois ele dividiu 10.100 por 2, realizando novamente um cálculo mais simples, para ficar apenas com uma soma única de cada par de números. Em programação é comum deixar o computador calcular passos aparentemente desnecessários, mas rápidos devido o poder de processamento, para simplificar o algoritmo e cobrir todas as possibilidades.
  • Gauss criou uma solução definitiva e reutilizável: sua fórmula pode ser usada para obter a soma de qualquer sequência aritmética de números naturais.

A resolução de problemas têm sido facilitada pela tecnologia, especialmente pela inteligência artificial, mas ainda há características exclusivamente humanas essenciais para uma boa decisão: intuição, ética, integridade, .

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